Wann kommt eine Folge zur Ruhe? · Mathematik für Biowissenschaften

Die Frage

Eine Population von Insekten lebt in Generationen. Ist sie klein, vermehrt sie sich fast ungebremst; ist sie groß, wird das Futter knapp. Misst man die Population als Anteil $y_n \in [0, 1]$ der größtmöglichen, so ist das einfachste Modell dafür

y_{n+1} = a\,y_n\,(1 - y_n).

Der Faktor $a\,y_n$ ist das ungebremste Wachstum wie in Woche 1, der Faktor $1 - y_n$ bremst es. Für manche Werte von $a$ pendelt sich die Population auf einen festen Wert ein, für andere schwankt sie für immer. Heute finden wir heraus, woran das liegt, zuerst mit Papier und dann mit dem Werkzeug rechts.

Mit Papier

Wenn die Folge überhaupt zur Ruhe kommt, dann auf einem Wert, der sich beim nächsten Schritt nicht mehr ändert. Solche Werte haben einen Namen.

Aufgabe 1

Fixpunkte berechnen

Setzen Sie $f(y) = a\,y(1-y)$ gleich $y$ und lösen Sie nach $y$ auf. Sie sollten zwei Lösungen finden. Eine davon ist langweilig. Welche? Bestimmen Sie außerdem die Ableitung $f'$ am anderen Fixpunkt; sie wird gleich eine Hauptrolle spielen.

Begründen

Bestimmen Sie alle Fixpunkte von

f(y) = a\,y(1-y)

und den Wert

f'(y^*)

am zweiten Fixpunkt.

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Vorhersage

Bevor Sie das Werkzeug benutzen, legen Sie sich fest. Es geht nicht darum, richtig zu raten. Sie sollen hinterher wissen, was Sie überrascht hat.

Vorhersage

Bei

a = 2.8

kommt die Folge zur Ruhe. Was erwarten Sie für

a = 3.2

?

Das Werkzeug zeigt zwei Bilder derselben Folge. Links das Spinnwebdiagramm: der Graph von $f$ und die Diagonale $y = x$ . Ein Schritt der Folge besteht aus zwei Bewegungen:

senkrecht vom aktuellen Wert $y_n$ bis zum Graphen, dort liest man $f(y_n) = y_{n+1}$ ab,
waagerecht zur Diagonale, damit wird $y_{n+1}$ zum neuen Startwert.

Rechts sehen Sie dieselbe Folge als Punkte über $n$ . Den Startwert ziehen Sie am Kreis auf der Achse; mit ▶ gehen Sie Schritt für Schritt. Vergleichen Sie a = 2.8 mit a = 3.2.

Aufgaben

Aufgabe 2

Die Schwelle

Bei $a = 2.8$ kommt die Folge zur Ruhe, bei $a = 3.2$ nicht. Irgendwo dazwischen muss sich etwas ändern. Erhöhen Sie $a$ langsam und beobachten Sie, wie lange die Folge braucht, um sich einzupendeln. Kurz vor der Schwelle wird es immer mühsamer. Mit der Lupe am Regler können Sie den Bereich eingrenzen.

Tragen Sie Ihren Wert ein. Er wird nicht sofort beurteilt: Die Antwort gibt der Beweis weiter unten.

Finden

Ab welchem

a

kommt die Folge nicht mehr auf einem einzigen Wert zur Ruhe?

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Aufgabe 3

Ablesen

Finden

Lesen Sie für

a = 2.5

den Grenzwert der Folge ab.

Aufgabe 4

Periode 4 herstellen

Jenseits der Schwelle springt die Folge zunächst zwischen zwei Werten. Erhöht man $a$ weiter, verdoppelt sich die Periode, und zwar immer schneller:

Periode	ab etwa $a =$
1	$1$
2	$3$
4	$3.449$
8	$3.544$

Stellen Sie eine Periode 4 her. Die Anzeige „Periode“ rechts hilft; sie untersucht die Folge nach 2000 Schritten.

Einstellen

Stellen Sie

a

so ein, dass die Folge auf lange Sicht mit Periode 4 umläuft.

Aufgabe 5 ★

Spirale oder Treppe

Begründen

Bei

a = 2.8

nähert sich die Folge dem Fixpunkt abwechselnd von beiden Seiten, bei

a = 1.8

von einer Seite. Woran sehen Sie das im Diagramm, und welche Rolle spielt das Vorzeichen von

f'(y^*)

?

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Vom Bild zur Behauptung

Die Bilder legen eine Vermutung nahe. Formulieren wir sie so, dass man sie beweisen kann.

Beweis

Mit $e_n = y_n - y^*$ gibt der Mittelwertsatz $e_{n+1} = f'(\xi_n)\,e_n$ mit $\xi_n$ zwischen $y_n$ und $y^*$ . Ist $|f'(y^*)| = |2-a| < 1$ , so gilt $|f'| \le q < 1$ auf einem Intervall um $y^*$ , also $|e_n| \le q^n |e_0| \to 0$ . Das ist die geometrische Folge aus Woche 1. Ist $|2 - a| > 1$ , wächst jeder kleine Abstand.

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Wo das Bild lügt

Weiterdenken

Bei $a \approx 3.83$ taucht plötzlich ein Zyklus der Länge 3 auf. Wie sieht das Diagramm dort aus?