Applets
Kein Applet passt dazu.
EinführungModelle aus der Praxis
Kapitel IDiskrete dynamische Systeme mit einer Variablen
Malaria im BlutIn jedem Zyklus entwickelt Malaria achtmal so viele Parasiten. Wie schnell wird man krank?
Arithmetische FolgeJeder Schritt addiert denselben Betrag.
Geometrische FolgeJeder Wert ist das a-fache des vorigen.
Heron-Verfahren für √2Mittelwert aus x und 2/x. Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich in jedem Schritt.
Newton-VerfahrenDie Tangente statt der Kurve: ihre Nullstelle ist der nächste Schritt.
Newtonsches AbkühlenDer Tee nähert sich der Raumtemperatur, wenn die Schritte nicht zu groß sind.
Die Update-FunktionErst die Funktion, dann die Folge: Nullstellen, Fixpunkte, Steigung.
Spinnwebdiagramm der logistischen AbbildungVom Graphen zur Diagonale und zurück: so entsteht die Folge.
Diskretes logistisches WachstumWachstumsrate r und Kapazität K: Welcher Parameter entscheidet über Ruhe oder Chaos?
Verzweigungsdiagramm der logistischen AbbildungVon der Ruhe über Zyklen der Länge 2, 4, 8 … ins Chaos.
Stabil oder instabil?Die Folge startet genau im Fixpunkt, dann kommen kleine Stöße.
Kapitel IIDiskrete dynamische Systeme mit mehreren Variablen
Räuber und BeuteZwei Populationen, die voneinander leben. Am Ende stehen Gleichgewicht, Schwingung oder Aussterben.
Räuber-Beute: die Update-Funktion als FlächeWo wächst die Beute, wo schrumpft sie? Eine Fläche über der Ebene zeigt es.
Epidemie-ModellGesunde stecken sich an, Kranke genesen. Wann bricht eine Epidemie aus?
nicht gelistetEpidemie: Gleichgewichte und StabilitätKrankheitsfrei oder endemisch? Das entscheiden die Basisreproduktionszahl R und die Jacobi-Matrix.
nicht gelistetKrebserkrankung: drei GruppenGesund, leicht und schwer erkrankt. Niemand geht verloren, und die Anteile pendeln sich ein.
nicht gelistetAktionspotential einer HerzzelleZwei Zahlen pro Schritt, das Potential und seine Erholung. Die Zelle feuert regelmäßig, chaotisch oder gar nicht.
nicht gelistetRing aus 50 HerzzellenEine Erregungswelle läuft um den Ring. Ein zweiter Reiz zur falschen Zeit lässt sie ewig kreisen.
nicht gelistetLeslie-Modell: AltersklassenGeburten und Überleben in drei Altersklassen. Der Spektralradius entscheidet über Wachstum oder Aussterben.
Lineare Abbildung in der EbeneImmer wieder mit derselben Matrix multiplizieren: Spirale, Sprung oder Gerade.
Kapitel IIIKontinuierliche dynamische Systeme mit einer Variablen
Exponentielles WachstumDie Änderung ist proportional zum Bestand.
Allgemeine Lösung einer linearen GleichungEine Differentialgleichung hat unendlich viele Lösungen, die Konstante C wählt eine aus.
AnfangswertproblemDer Anfangswert legt die Konstante fest und damit genau eine Lösung.
Logistisches WachstumWachstum, das an eine Kapazitätsgrenze stößt.
nicht gelistetDiskret oder kontinuierlich?Zweimal dasselbe logistische Wachstum, aber nur die diskrete Version kann über das Ziel hinausschießen.
Logistisches Modell an Daten anpassenDrei Regler, 37 Messwerte: Wie gut lässt sich das Wachstum beschreiben?
Euler- und Heun-VerfahrenZwei Näherungsverfahren gegen die exakte Lösung: Wie schnell wird der Fehler kleiner?
Kapitel IVKontinuierliche dynamische Systeme mit mehreren Variablen
Lineares System in der EbeneEine Matrix A, zwei Bilder: Zeitverlauf und Phasenporträt.
Romeo und JuliaZwei Gefühle, die aufeinander reagieren: ein lineares System als Liebesgeschichte.
nicht gelistetGedämpftes PendelEine Gleichung zweiter Ordnung als System: Auslenkung und Winkelgeschwindigkeit in der Phasenebene.
Enzymkinetik nach Michaelis und MentenSubstrat wird über einen Komplex zu Produkt. Vier Stoffe, zwei Erhaltungsgrößen.
nicht gelistetBakterien im BioreaktorNährstoff fließt zu, Kultur fließt ab. Bei zu starkem Durchfluss wird sie ausgewaschen.
nicht gelistetAktionspotential: Schrittmacher und MuskelzelleEin System aus vier Differentialgleichungen, das von selbst schwingt oder im Takt eines Reizes.
AnhangMathematische Grundlagen
Grenzwert einer FolgeZu jedem noch so schmalen ε-Band gibt es ein N, ab dem die Folge darin bleibt.
Vom Differenzenquotienten zur AbleitungDie Sekante wird zur Tangente, wenn der zweite Punkt auf den ersten zuläuft.
Blick durch die LupeAus der Nähe betrachtet ist jede glatte Kurve eine Gerade: ihre Tangente.
Hauptsatz: Fläche und SteigungDie Flächenfunktion F wächst genau so schnell, wie f an der oberen Grenze hoch ist.
Integral als Grenzwert von RechtecksummenImmer schmalere Rechtecke füllen die Fläche unter der Kurve immer genauer.
Komplexe Zahlen in der EbeneAddieren heißt Pfeile aneinanderlegen, Multiplizieren heißt drehen und strecken.
Lineare Gleichungssysteme als GeradenZwei Gleichungen, zwei Geraden: ein Schnittpunkt, keiner oder unendlich viele.
Eigenvektoren: wann A v in dieselbe Richtung zeigtDrehen Sie v, bis A v parallel dazu liegt. Dann ist v ein Eigenvektor.