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Kapitel III
· Folien 35–41, 54–60
Logistisches Wachstum
Wachstum, das an eine Kapazitätsgrenze stößt.
Im Kurs
Wachstum mit Obergrenze →
Gleichung
d
x
d
t
\displaystyle \frac{dx}{dt}
d
t
d
x
d
x
d
t
\displaystyle \frac{dx}{dt}
d
t
d
x
=
\displaystyle =
=
=
\displaystyle =
=
r
x
(
1
−
x
K
)
\displaystyle \htmlData{param=r}{r}\,x\left(1 - \frac{x}{\htmlData{param=K}{K}}\right)
r
x
(
1
−
K
x
)
0.8
⋅
x
(
1
−
x
50
)
\displaystyle \htmlData{param=r}{0.8} \cdot x\left(1 - \frac{x}{\htmlData{param=K}{50}}\right)
0.8
⋅
x
(
1
−
50
x
)
Start
x
(
0
)
\displaystyle x(0)
x
(
0
)
x
(
0
)
\displaystyle x(0)
x
(
0
)
=
\displaystyle =
=
=
\displaystyle =
=
2
\displaystyle \htmlData{param=x0}{2}
2
2
\displaystyle \htmlData{param=x0}{2}
2
Lösung
x
(
t
)
\displaystyle x(t)
x
(
t
)
x
(
t
)
\displaystyle x(t)
x
(
t
)
=
\displaystyle =
=
=
\displaystyle =
=
K
x
0
x
0
+
(
K
−
x
0
)
e
−
r
t
\displaystyle \frac{\htmlData{param=K}{K}\,\htmlData{param=x0}{x_0}}{\htmlData{param=x0}{x_0} + (\htmlData{param=K}{K} - \htmlData{param=x0}{x_0})\,e^{-\htmlData{param=r}{r}\,t}}
x
0
+
(
K
−
x
0
)
e
−
r
t
K
x
0
50
⋅
2
2
+
(
50
−
2
)
e
−
0.8
t
\displaystyle \frac{\htmlData{param=K}{50} \cdot \htmlData{param=x0}{2}}{\htmlData{param=x0}{2} + (\htmlData{param=K}{50} - \htmlData{param=x0}{2})\,e^{-\htmlData{param=r}{0.8}\,t}}
2
+
(
50
−
2
)
e
−
0.8
t
50
⋅
2
Parameter / Werte
a
1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
10
20
30
40
50
x
(
t
)
t
x
(
t
)
x(t)
x
(
t
)
Population
K
K
K
Kapazität
1×
t = 15
/