abacusMathematik für Biowissenschaften
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Woche 3

Wachstum mit Obergrenze

Logistisches Wachstum: Wann wächst es am schnellsten?

Mit Papier

Das Modell ist x′=r x (1−x/K)x' = r\,x\,(1 - x/K). Für welche xx ist x′=0x' = 0, für welche x′>0x' > 0?

1Begründen
Wo hat g(x)=r x (1−x/K)g(x) = r\,x\,(1 - x/K) sein Maximum, und wie groß ist es?

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Vorhersage

2Vorhersage
Bei welchem Wert von x(t)x(t) ist die Kurve am steilsten?
Danach lässt sie sich nicht mehr ändern.

Das Applet zeigt x(t)=K x0x0+(K−x0) e−rt.x(t) = \frac{K\,x_0}{x_0 + (K - x_0)\,e^{-rt}}. Ändern Sie nur rr (Steilheit), dann nur KK (Höhe).

Aufgaben

3Finden
Für r=0.8r = 0.8, K=50K = 50, x0=2x_0 = 2: Zu welcher Zeit t∗t^* ist die Kurve am steilsten?
auf 0.2 genau

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.
4Einstellen
Lassen Sie K=50K = 50 und stellen Sie rr und x0x_0 so ein, dass die Kurve bei t∗=5t^* = 5 am steilsten ist. Es gibt viele Lösungen.

Vom Bild zur Behauptung

Beweis

x′(t)=g(x(t))x'(t) = g(x(t)), und x(t)x(t) wächst streng monoton von x0x_0 nach KK. gg ist genau bei K/2K/2 maximal (Aufgabe 1). Aus x(t∗)=K/2x(t^*) = K/2 folgt (K−x0)e−rt∗=x0(K - x_0)e^{-rt^*} = x_0, also die Formel.

∎

Wo das Bild lügt

Weiterdenken

Die diskrete Version xn+1=xn+r xn(1−xn/K)x_{n+1} = x_n + r\,x_n(1 - x_n/K) sieht gleich aus. Verhält sie sich gleich?

Logistisches Wachstum

Wachstum, das an eine Kapazitätsgrenze stößt.

Gleichungdxdt\displaystyle \frac{dx}{dt}=\displaystyle =r x(1−xK)\displaystyle \htmlData{param=r}{r}\,x\left(1 - \frac{x}{\htmlData{param=K}{K}}\right)Startx(0)\displaystyle x(0)=\displaystyle =2\displaystyle \htmlData{param=x0}{2}Lösungx(t)\displaystyle x(t)=\displaystyle =K x0x0+(K−x0) e−r t\displaystyle \frac{\htmlData{param=K}{K}\,\htmlData{param=x0}{x_0}}{\htmlData{param=x0}{x_0} + (\htmlData{param=K}{K} - \htmlData{param=x0}{x_0})\,e^{-\htmlData{param=r}{r}\,t}}Parameter / Werte

Erst vorhersagen, dann nachsehen.