Immer derselbe Zuwachs · Mathematik für Biowissenschaften

Worum es geht

Manche Größen ändern sich in jedem Schritt um denselben Betrag: Ein Sparschwein bekommt jede Woche 5 €, ein Wassertank verliert jede Stunde 20 Liter, eine Kolonie gewinnt jedes Jahr 150 Tiere dazu. Schreibt man den Wert nach $n$ Schritten als $x_n$ , so gilt

x_{n+1} = x_n + b .

Das ist eine arithmetische Folge. Der Zuwachs $b$ ist in jedem Schritt derselbe. Im Bild zeigt ihn das kleine Steigungsdreieck: einen Schritt nach rechts, $b$ nach oben (oder unten, wenn $b < 0$ ). Darum liegen alle Punkte auf einer Geraden, und man kann jeden Wert direkt ausrechnen:

x_n = x_0 + b\,n .

Im Applet

Ziehen Sie den ersten Punkt, um den Startwert $x_0$ zu ändern, und den letzten Punkt, um die Gerade zu kippen. So ändern Sie $b$ . Achten Sie darauf, was sich nicht ändert, wenn Sie nur $x_0$ verschieben.

Mit Papier

Für $x_0 = 20$ und $x_{n+1} = x_n + b$ : Rechnen Sie $x_1, x_2, x_3$ für $b = 2$ und $b = -3$ aus. Welche Formel gibt $x_n$ direkt an, ohne alle Schritte dazwischen?

1Auswahl

Eine Kolonie gewinnt jedes Jahr

150

Tiere dazu. Welche Folge beschreibt sie?

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Aufgaben

2Rechnen

Es sei

x_0 = 20

und

b = -3

. Berechnen Sie

x_{10}

.

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Stellen Sie im Applet ein: b = −1, b = 0 und b = 2. Was passiert mit dem Steigungsdreieck?

3Einstellen

Stellen Sie

x_0 = 30

ein und wählen Sie

b

so, dass die Folge nach

N = 20

Schritten genau bei

0

ankommt.

Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.

Vom Bild zur Behauptung

Beweis

Aus $x_{n+1} = x_n + b$ folgt per Induktion $x_n = x_0 + b\,n$ . Das ist eine lineare Funktion von $n$ mit der Steigung $b$ und dem Achsenabschnitt $x_0$ .

∎