Geometrische Folgen wachsen, schrumpfen oder springen.
Worum es geht
Bei vielen Vorgängen in der Biologie ändert sich eine Größe nicht um einen festen Betrag,
sondern um einen festen Anteil: Eine Population wächst jedes Jahr um 10 %, ein
Medikament wird jede Stunde zu einem Fünftel abgebaut. Dann wird in jedem Schritt mit
demselben Faktor a multipliziert:
xn+1=axn,alsoxn=anx0.
Das ist eine geometrische Folge. Im Bild zeigt der Pfeil ⋅a den ersten Schritt
von x0 zu x1. Ob die Folge wächst, schrumpft oder hin und her springt, hängt allein
an a:
a>1: sie wächst immer schneller,
0<a<1: sie schrumpft gegen 0,
a<0: das Vorzeichen wechselt in jedem Schritt.
Im Applet
Ziehen Sie x0 und den Punkt x1. So stellen Sie a=x1/x0 ein. Mit dem
Schalter „log“ wird aus jeder geometrischen Folge eine Gerade.
Mit Papier
Für x0=5 und xn+1=axn: Rechnen Sie x1,x2,x3 für a=2, a=21 und a=−1 aus.
1Begründen
Geben Sie eine Formel für xn an, in der nur a, x0 und n vorkommen.
Für welches a bleibt die Folge bei x0=0 konstant?
Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.
4Einstellen
Stellen Sie a so ein, dass die Folge bei jedem Schritt das Vorzeichen wechselt und dabei schrumpft.
5Finden ★
Es sei a=0.5 und x0=5. Ab welchem n ist xn<0.01? Erst rechnen, dann nachsehen.
Die Lösung erscheint nach Ihrem ersten Versuch.
Vom Bild zur Behauptung
Beweis
Induktiv ist xn=anx0, also ∣xn∣=∣a∣n∣x0∣. Das geht für ∣a∣<1 gegen 0, wächst für ∣a∣>1 über alle Grenzen und bleibt für ∣a∣=1 konstant. Das Vorzeichen von an wechselt genau für a<0.